二种隔热（断桥）型材强度计算方法的差异

一 前言
 
　　随着节能要求的深化，国内对隔热铝型材的使用已越来越广泛，涉及这种复合杆的强度计算也显得更为重要及迫切。目前国内门窗界对隔热型材的强度计算大致采用以下二种方法：方法一，依据龙文志先生所推导的计算方法。方法二，依据JG/T 175-2005附录B﹙资料性附录﹚所规定的计算方法。然而，当同一题目同时采用以上二种方法计算后却发现：二者结果相差颇大。搞清楚产生差异的原因，对隔热型材的正确计算是非常必要的。
 
　　二 隔热型材弯曲时的力学分析
 
　　方法二中提出了刚性惯性矩Is及有效惯性矩Ief二个概念。刚性惯性矩Is的算法﹙原文中式﹙2﹚﹚就是众所熟悉的材力中仅考虑铝型材的惯性矩移轴算法。现以此作为比较二种计算方法的参照点。方法一是将尼龙条宽度缩小 n =E铝/E尼龙= 70000/2900 = 24倍后作为当量截面计算惯性矩的，所以方法一算出的铝质“当量截面惯性矩”永远是一个略大于Is的数值。方法二在变形计算及强度计算时则使用的是有效惯性矩Ief，且Ief与Is的数学关系则是永远相差一个远小于1的因子---﹙1-ν﹚/﹙1-ν?C﹚ ﹙原文中式﹙1﹚﹚。所以Ief永远是一个远小于Is的数值。以上便是二种计算方法产生较大差异的表像，究竟何种算法更正确、更合理呢？
 
　　在讨论前先分析以下实验。 用二根长度为800、断面为6×20的扁钢将其叠合后弯曲，这便是众所悉知的叠合式复合杆，图一 ﹙1﹚为叠合式复合杆受弯后端头的状况，显著特征为二杆间有相互错动。二杆皆以自身形心轴C1、C2翘曲变形，图中及图右则是剖面图及应力分布图。此时二者各自承载一半，二者除贴合外彼此没有力学影响，其结合面的摩擦作用在工程计算时也一般忽略不计。当将二者牢固铆合﹙或焊合﹚，此时便形成了组合式复合杆。图一 ﹙2﹚为组合式复合杆受弯后端头的状况，显著特征为二杆间没有相互错动。此时复合杆按统一的中性轴C0翘曲变形，当二杆完全相同时，C0正好处于二杆的结合面。这种特例就相当于一根高度是原杆2倍的矩形截面杆，由于截面惯性矩与截面高度的三次方成正比(I=B×H^3/12)，所以组合式复合杆的I值是单根的8倍，是叠合式复合杆的4倍，这对提高杆件刚度是极为有利的。
 
　　根据 W=I/0.5 H 的关系不难推出：组合式复合杆的强度是叠合式复合杆的2倍。现再用二根8×8的泡沫双面胶条﹙制作隐框玻璃板块用的那种﹚将二根扁钢贴牢后再进行弯曲，图一 ﹙3﹚则为钢-胶条-钢组合杆受弯后端头的状况，三者的接触面间并无相互错动是其主要特征。现在的情况是胶条有一定的高度；　　　　而且胶条的弹性模量与钢材的弹性模量比极为悬殊，因此胶条的变形便成为影响杆件刚度和强度不可忽略的重要因素。如图所示，胶条的变形应是以纵向剪切变形为主。胶条上缘由于受钢材1下缘的压缩变形而形成压缩，而胶条下缘则由于钢材2的作用而产生拉伸变形。这种变形影响了上、下钢材的"组合"作用。使上、下钢材绕偏移了原各自形心轴的C1’、C2’中性轴产生翘曲。从端头的变形可以看出：尽管结合面并无产生错动，但钢材1的下端与钢材2的上端由于胶条的切向变形还是产生了偏移。正是这原因使这种组合既不同于第1种叠合，也不同于第2种刚性组合。只能算是一种“弹性组合”。此时这种复合杆的截面力学特性应该处于前二者之间。
 
　　龙文志先生推导的计算方法是建立在“应变将沿截面高度连续线性变化”这个基本假设基础上的。这应该是出现差异的根本原因。 图二 ﹙1﹚是图一 ﹙3﹚情况的应力分布图，C1’、C2’为上、下二扁钢的中性轴，在钢、胶结合面确存在应力突变，这是因为结合面钢、胶的变形（应变）相同，所以扁钢应力σ1/胶条应力σ2为E1/E2。即σ1= （E1/E2）×σ2。对隔热型材而言，尽管情况不像上述实验突出，但铝材与尼龙弹性模量的比值也己达n=70000/2900,即σ1=24×σ2，因比以上倾问不能不影响隔热铝型材的计算。图二还反应了胶条E值变化对应力分布改变的趋向，当胶条E值逐渐增大时，截面应力将沿着1→2→3→4→5的方问改变，在此过程中C1’、C2’轴会逐渐接近组合截面的形心。只有当胶条E值等于扁钢E值时三者才会重合。当然，此时也才是完全的刚性组合。复合杆的截面惯性矩是复合杆截面力学特性的基础。其取值的大小直接影响变形计算及强度计算的结果。
 
　　三 隔热型材有效惯性矩的定量计算
 
　　以上仅仅是对隔热型材截面力学特性的定性分析和推断。要满足工程计算的要求则必须建立有效惯性矩与影响有效惯性矩诸因素之间的数学关系。而且这种数学关系一旦建立后其计算结果还必须能接受力学实验的验证。尽管上述分折认为胶条的纵向剪切变形会影响Ief的数值，但要直接将这二者建立数学关系则是十分困难的。哪些因素会影响胶条的纵向剪切变形呢？分析后可认为有以下：
 
　　1. 胶条的E值，E值越小，胶条的纵向剪切变形越大。
 
　　2. 胶条的高度，胶条越高，胶条的纵向剪切变形越大。
　　
　　3. 胶条的厚度，胶条厚度越小，胶条的纵向剪切变形越大。
 
　　4. 梁的跨度，跨度越大，胶条的应变越小。
 
　　Ief与Is关系中的因子﹙1-ν﹚/﹙1-ν?C﹚能否体现以上因素的影响呢？现摘录方法二的算法：Ief = Is?（ 1- ）/ （ 1- ? C ）
 
　　（1）其中：Is = I1+ I2 + A1 12 +A2 22
　　（2） = （A1 12 + A2 22 ）/ Is
　　（3） C = λ2/（π2+λ2 ）
　　（4）首先，因子的计算是涉及c、a、l 以及基材E值的。且大致按以下规律变化：
　　1. 胶条高度↓→ 12、 22↓→ν↓→因子↑
　　2. 胶条E值↓→c↓→λ2↓→C↓→因子↓
　　3. l↓→λ2↓→C ↓→因子↓
 
　　可以认为：方法二因子的计算与胶条切变因素的影响是吻合的，因子关系式的确定是形成方法二的核心。在己知材料断面参数的前提下，刚性惯性矩Is是很容易计算的，以此作为有效惯性矩的基础也可被普遍接受。通过隔热型材的力学实验可以得到荷载-挠度的对应关系，利用这个对应关系还可反推出隔热型材的有效惯性矩Ief，因子关系式的确定是不是依靠这些基础再加上数学拟合手段得出来的“经验公式”或“半经验公式”。
 
　　四 实例计算
 
　　用二条截面宽为3高为14的PA66GF25隔热条（E=2900N/mm2）将二根18×50壁厚为2的铝合金矩形管（E=70000N/mm2）组合成隔热铝型材（如图）。 当要对隔热型材进行变形计算及强度计算时必定要计算其惯性矩及抵抗矩。按龙文志先生所介绍的方法，可以将隔热条宽缩小70000/2900=24倍后生成铝质“当量截面”，而后再进一步算其“当量截面惯性矩”及“当量截面抵抗矩”。并且在下一步的计算过程中就直接使用这二个数据。依此方法，算得以上截面为：I=15.87 cm4 W=6.35 cm3 而按JG/T 175所规定的方法（在E=70000N/mm2，c=80 N/mm2，l=1000 mm的条件下）计算则得： Ief=8.99 cm4 Wef=3.60 cm3 （计算书参见附录）二者相差 15.87/8.99 =1.77倍！工程计算精度在5%内尚可接受，误差到10%时就应慎重对待。如此悬殊的差异必须对其计算方法加以严格甄别！
 
　　五 实验论证
 
　　究竟何种算法更正确、更合理呢？回答此问题的唯一办法只能依靠实验。将具有上例断面的隔热型材按下图搭建成一简支梁， 其跨度l=1000 mm，在跨中下弦设置一个千分表并在该危险截面处粘贴应变片以便测量挠度及应力，跨中施加 P=1000 N 集中荷载。按：
 
　　弯矩M=Pl/4=1000×1000/4=250000 Nmm 跨中挠度fmax=Pl3/（48EI）最大应力σ=M/W
 
　　依据方法一，代入I及W后计算结果为： fmax=1.87 mm σ=39 N/mm2
 
　　依据方法二，代入Ief及Wef后计算结果则为： fmax=3.30 mm σ=69.44 N/mm2
 
　　实验结果又将是如何呢？
 
　　六 结语
 
　　1.本文通过一个隔热桥型材例，同时采用方法一及方法二进行计算后发现：二种方法的计算结果存在较大差异。
 
　　2.本文认为： 由于隔热桥型材变形前的某一横截面在变形后己不处同一平面。所以经典力学中解决均质杆件的平面假设---“应变将沿截面高度连续线性变化”己不能成立。方法一在推导计算方法时仍然是建立在以上基本假设基础上的，这应该是二种算法产生较大差异的根本原因。
 
　　3.为进一步论证二种计算方法的正确性，本文提出一个力学实验方案，供下一步深入研究采用。附录：断面特性计算方法二：隔热型材截面如下图。 通过计算可得：
 
　　A1=256 mm2 　I1=13781 mm4 　a1=16 mm 　A2=256 mm2 　I2=13781 mm4 　a2=16 mm 　E=70000 N/mm2 　l=1000 mm 　c=80 N/mm2 　
　　IS= I1+I2+A1a12+A2a22
　　　=2×13781+2×256×162
　　　= 158634 mm4
 
　　ν  =（A1a12+A2a22）/IS
　　　=（2×256×162）/158634
　　　= 0.826
 
　　λ2=c?a2?l2/（E?IS?ν?（1-ν））
　　　=80×322×10002/（70000×158634×0.826×（1-0.826）
　　　=51.329 C=λ2/（π2+λ2）
　　　=51.329/（3.142+51.329）
　　　=0.839
 
　　Ief=IS?（1-ν）/（1-ν?C）
　　　=158634×（1-0.826）/（1-0.826×0.839）